∫0 π6sin 3x cos 3x dx = কত?

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin 3 x \cos 3 x d x =$ কত?

Created: 2 years ago | Updated: 1 week ago

Updated: 1 week ago

ক

π/ 2
খ

π/ 3
গ

1/6
ঘ

1/9

CU CU D Unit MB-2025 উচ্চতর গণিত 2024 নির্দিষ্ট যোগজ

307

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটি হলো:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin 3x \cos 3x \, dx \]

এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করার জন্য আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution method) ব্যবহার করতে পারি।

ধরি, $ u = \sin 3x $

এখন, $ u $ কে $ x $ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ (differentiate) করি:

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = \cos 3x \cdot \frac{d}{dx}(3x) = 3 \cos 3x \]

সুতরাং, $ du = 3 \cos 3x \, dx $

বা, $ \cos 3x \, dx = \frac{1}{3} du $

ইন্টিগ্রেশনের সীমা পরিবর্তন করি:

যখন $ x = 0 $, তখন $ u = \sin(3 \cdot 0) = \sin 0 = 0 $
যখন $ x = \frac{\pi}{6} $, তখন $ u = \sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $

এখন, ইন্টিগ্রালটি $ u $ এর সাপেক্ষে নতুন সীমায় লেখা যায়:

\[ \int_{0}^{1} u \cdot \frac{1}{3} du \] \[ = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} u \, du \]

এখন, $ u $ এর ইন্টিগ্রেশন করি:

\[ = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} \]

উপরের সীমা এবং নিচের সীমা বসিয়ে পাই:

\[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) \] \[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \] \[ = \frac{1}{6} \]

💡 শর্টকাট টেকনিক (ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করে):

আমরা জানি, $ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $।

সুতরাং, $ \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta $।

এখানে $ \theta = 3x $। তাহলে, $ \sin 3x \cos 3x = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 3x) = \frac{1}{2} \sin 6x $।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{2} \sin 6x \, dx \] \[ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin 6x \, dx \]

এখন, $ \sin ax $ এর ইন্টিগ্রেশন $ -\frac{\cos ax}{a} $ সূত্র ব্যবহার করে পাই:

\[ = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 6x}{6} \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \] \[ = -\frac{1}{12} \left[ \cos 6x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \]

উপরের সীমা এবং নিচের সীমা বসিয়ে পাই:

\[ = -\frac{1}{12} \left( \cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \cos(6 \cdot 0) \right) \] \[ = -\frac{1}{12} \left( \cos \pi - \cos 0 \right) \]

আমরা জানি, $ \cos \pi = -1 $ এবং $ \cos 0 = 1 $:

\[ = -\frac{1}{12} \left( -1 - 1 \right) \] \[ = -\frac{1}{12} \left( -2 \right) \] \[ = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

Satt AI

2 months ago

MCQ: 509

Practice

নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজ বলতে বুঝায় এমন একটি যোগফল যা নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকে। এটি সাধারণত একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকা ধারার যোগফল নির্ণয় করতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে ধারার শুরু এবং শেষের অবস্থান নির্দিষ্ট থাকে। গণিতের ভাষায়, এটি সসীম যোগের (finite sum) ধারণার সাথে সম্পর্কিত।

নির্দিষ্ট যোগজের উদাহরণ

ধরা যাক, আমাদের একটি ধারার নির্দিষ্ট কিছু পদ যোগ করতে হবে। যেমন, $1 + 2 + 3 + \dots + n$। এখানে আমরা $n$ সংখ্যক পদ যোগ করছি, এবং এই যোগফল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা হবে।

যদি $ n = 5 $ হয়, তাহলে নির্দিষ্ট যোগজ হবে:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
\]

গণিতের ভাষায় নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজকে Σ (সিগমা) প্রতীক দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ধরুন, আমাদের একটি ফাংশন $ f(i) $ এর জন্য $ i = a $ থেকে $ i = b $ পর্যন্ত নির্দিষ্ট যোগজ বের করতে হবে। তাহলে আমরা এটি লিখতে পারি:
\[
\sum_{i=a}^{b} f(i)
\]

উদাহরণস্বরূপ, $ \sum_{i=1}^{5} i $ হবে:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
\]

নির্দিষ্ট যোগজ এবং ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক

নির্দিষ্ট যোগজ এবং নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রেশন (Definite Integration) মধ্যে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে। যখন একটি ধারার পদ সংখ্যা অসীম হয় এবং ধারা খুব ছোট ছোট অংশে বিভক্ত হয়, তখন নির্দিষ্ট যোগজকে ইন্টিগ্রাল হিসেবেও প্রকাশ করা যায়।

নির্দিষ্ট যোগজের প্রয়োগ

নির্দিষ্ট যোগজ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়, যেমন:

ক্ষেত্রফল নির্ণয়: নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে বিভিন্ন ফাংশনের গ্রাফের নিচে থাকা ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।
গণনামূলক বিশ্লেষণ: ধারার নির্দিষ্ট যোগফল বিভিন্ন গণনায় নির্ণীত মান বের করতে সহায়ক হয়।

নির্দিষ্ট যোগজ গণিত, প্রকৌশল, পদার্থবিজ্ঞানসহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় এবং এটি বিশ্লেষণ ও সঠিক মান নির্ণয়ে অত্যন্ত কার্যকর।

Notification

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin 3 x \cos 3 x d x =$ কত?

নির্দিষ্ট যোগজের উদাহরণ

গণিতের ভাষায় নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজ এবং ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক

নির্দিষ্ট যোগজের প্রয়োগ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

Notification

∫0π6sin 3x cos 3x dx = কত?

নির্দিষ্ট যোগজের উদাহরণ

গণিতের ভাষায় নির্দিষ্ট যোগজ

নির্দিষ্ট যোগজ এবং ইন্টিগ্রেশনের সম্পর্ক

নির্দিষ্ট যোগজের প্রয়োগ

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin 3 x \cos 3 x d x =$ কত?